Дипломна робота «Повна та часткова проблеми власних значень матриць», 2005 рік

З предмету Математика · додано 11.01.2007 15:03 · від Дмитро · Додати в закладки
75 грн Вартість завантаження

Зміст

Вступ 3 1.Власні значення і власні вектори матриць 5 2.Повна проблема власних значень матриць 14 2.1. Метод Крилова 14 2.2. Метод Ланцоша 25 2.3. Метод Данілєвського 32 2.4. Метод Леверр’є 36 2.5. Метод окаймування 39 2.6. Інтерполяційний метод 40 3. Часткова проблема власних значень матриць 41 3.1. Відшукання найбільшого по модулю дійсного власного значення матриці простої структури 41 3.2. Степеневий метод 44 Тестові приклади 48 Висновки 49 Список використаної літератури 50 Додаток. Програмна реалізація числових методів знаходження власних значень матриць 51

Висновок

На даний час існує велика кількість методів для розв’язання повної та часткової проблем власних значень матриць. Тому викласти всі методи в даній дипломній роботі немає можливості. З усіх методів розв’язання повної та часткової проблем власних значень матриць були вибрані ті методи, які найчастіше використовуються на практиці. Зокрема, для знаходження всіх власних значень були розглянуті методи Крилова, Ланцоша, Данілєвського, Леверр’є, окаймування і інтерполяційний методи. А для вирішення часткової проблеми власних значень були розглянуті наступні методи: метод відшукання найбільшого по модулю власного значення матриці простої структури і степеневий метод.

Також, потрібно відмітити, що для вирішення повної проблеми власних значень матриць використовуються методи, які базуються на зведенні деяким чином визначника початкової матриці до визначника матриці спеціальної форми. Це може бути трьохдіагональна, діагональна, верхня трикутна, нижня трикутна та інші матриці спеціального вигляду.

Так, наприклад, метод Крилова полягає в перетворенні визначника (1) початкової матриці, тобто такого, який містить в кожному рядку і кожному стовпці, до визначника, в якому міститься тільки в першому стовпчику. Доречі, ці визначники мають одні і тіж самі корені. Такий алгоритм вимагає операцій множення і ділення, якщо всі кроків здійснені.

Метод Ланцоша побудований на процесі ортогоналізації або біортогоналізації і вимагає операцій множення і ділення.

Суть методу Данілєвського полягає в перетворенні визначника (1) до визначника нормальної форми Фробеніуса перетвореннями подібності, що дає можливість легко його розкрити і знайти власні значення. Причьому, приведена схема методу Данілєвського не є кращою, але вона досить зручна. Вона може застосовуватись для матриць будь-якого порядку. Приведена схема методу Данілєвського вимагає операцій множення і ділення.

Метод Леверр’є базується на знаходженні слідів матриць. Цей процес досить трудомісткий і вимагає виконувати велику кількість множень.

Інтерполяційний метод базується на обчисленні деяким чином визначника і побудові інтерполяційного многочлена. Цей інтерполяційний поліном співпадатиме з характеристичним многочленом. Теоретично метод простий. Практично може вимагати великої кількості операцій.

Відмітимо, що для розв’язання часткової проблеми власних значень матриць, використовуються методи, які здебільшого базуються на ітераційних процесах, тобто виконавши певну кількість ітерацій можна знайти власне значення з заданою точністю. Кількість операцій в даних методах залежить від кількості ітерацій, а отже, і від заданої точності.

Розв’язувати часткову проблему власних значень матриць можна за допомогою методів, які розв’язують повну проблему, але цього робити не доцільно, бо потрібно виконувати велику кількість операцій.

Протестувавши програмну реалізацію числових методів знаходження власних значень матриць на тестових прикладах, отримали результати, які відрізняються від результатів тестових прикладів, обрахованих вручну. Це відбувається за рахунок похибок заокруглення і за рахунок використання наближених методів розв’язання і уточнення коренів характеристичного рівняння.

Перед завантаженням, ви можете звернутися до адміністратора сайту, та ознайомитися з роботою через Skype (live:intellectnova)

Завантаження буде доступне після авторизації та поповнення балансу на 75 грн

Зайти на сайт

Забули пароль? Ще не зареєстровані?

Подібні матеріали